Question

一位牧民計劃用籬笆為他的馬群圍一個面積為1600米²的矩形牧場，由于受自然環境的限制，矩形的一邊不能超過a米，求用最少籬笆圍成牧場后矩形的長和寬．

Answer 1

分析：假設矩形的一邊長，利用面積求出另一邊長，從而可表示出矩形的周長，對a進行分類討論，利用函數的單調性，即可求出用最少籬笆圍成牧場后矩形的長和寬．

解答：解：設矩形的一邊長為xm（x≤a），則矩形的另一邊長為

1600

x

m
則矩形的周長為y=2(x+

1600

x

)
當a＜40時，y′=2(1-

1600

x2

)＜0，函數在（0，a]上為單調減函數，所以，x=a時，矩形的周長最小，此時矩形的長和寬分別為：am，

1600

a

m；
當a≥40時，函數在（0，40]上為單調減函數，在[40，a]上為單調增函數，所以x=40時，矩形的周長最小，此時矩形的長和寬分別為：40m，40m．

點評：本題以實際問題為載體，考查函數模型的構建，考查函數最值的研究，解題的關鍵是構建函數，正確分類討論．