Question

已知向量

OA

=（2

2

，0），O是坐標(biāo)原點，動點 M 滿足：|

OM

+

OA

|+|

OM

-

OA

|=6．
（1）求點 M 的軌跡 C 的方程；
（2）是否存在直線 l 過 D（0，2）與軌跡 C 交于 P、Q 兩點，且以 PQ 為直徑的圓過原點，若存在，求出直線 l 的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè) B（-2

2

，0），則|

OM

+

OA

|+|

OM

-

OA

|=|

OM

+

OB

|+|

OM

-

OA

|=|

MB

|+|

MA

|=6，所以M 的軌跡為以 A、B 為焦點，長軸長為6的橢圓，由此能求出M的軌跡C的方程．
（2）設(shè)直線 l 的方程為 y=kx+2，由 

y=kx+2 x2 9 +y2=1

得（1+9k²） x²+36kx+27=0，再由根的判別式和韋達(dá)定理進(jìn)行求解．

解答：解：（1）設(shè) B（-2

2

，0）…（1分）
則|

OM

+

OA

|+|

OM

-

OA

|=|

OM

+

OB

|+|

OM

-

OA

|=|

MB

|+|

MA

|=6
∴M 的軌跡為以 A、B 為焦點，長軸長為 6 的橢圓
由c=2

2

，2a=6⇒a=3⇒b=1              …（5分）
∴M 的軌跡 C的方程為 

x2

9

+y²=1           …（6分）
（2）設(shè)直線 l 的方程為 y=kx+2（k≠0且k存在），…（7分）
由 

y=kx+2 x2 9 +y2=1

得x²+9 （kx+2）²=9，
即 （1+9k²） x²+36kx+27=0         …（8分）
∴△=（36k）²-4×27 （1+9k²）＞0
即 9k²-3＞0，∴k＜-

3

3

或k＞

3

3

  （*）…（9分）
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=-

36k

1+9k2

，x₁x₂=

27

1+9k2

                …（10分）
∵以 PQ 為直徑的圓過原點，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0
∴（1+k²） x₁ x₂+2k （x₁+x₂）+4=0
即  

27(1+k2)

1+9k2

-

72k2

1+9k2

+4=0
解得k=±

31

3

滿足 （*）
∴滿足條件的直線 l 存在，
且直線 l 的方程為：

31

x-3y+6=0或 

31

x+3y-6=0  …（12分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．