Question

（本小題滿分12分）

已知方向向量為v=(1,)的直線l過點（0，－2）和橢圓C：

 

的焦點，且橢圓C的中心關于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）是否存在過點E（－2，0）的直線m交橢圓C于點M、N，滿足cot∠MON ≠0（O為原點）.若存在，求直線m的方程；若不存

 

在，請說明理由.

 

 

 

Answer 1

【答案】

（I）解法一：直線，  ①

過原點垂直的直線方程為，  ②

解①②得

∵橢圓中心（0，0）關于直線的對稱點在橢圓C的右準線上，

 

∵直線過橢圓焦點，∴該焦點坐標為（2，0）.

  故橢圓C的方程為  ③

 

解法二：直線.

設原點關于直線對稱點為（p，q），則解得p=3.

 

∵橢圓中心（0，0）關于直線的對稱點在橢圓C的右準線上，

    ∵直線過橢圓焦點，∴該焦點坐標為（2，0）.

 

  故橢圓C的方程為  ③

（II）解法一：設M（），N（）.

當直線m不垂直軸時，直線代入③，整理得

 

 

點O到直線MN的距離

 

即

      

 

      

即

 

整理得

當直線m垂直x軸時，也滿足.

故直線m的方程為

或或

經檢驗上述直線均滿足.

所以所求直線方程為或或

解法二：設M（），N（）.

當直線m不垂直軸時，直線代入③，整理得

 

∵E（－2，0）是橢圓C的左焦點，

∴|MN|=|ME|+|NE|

=

 

以下與解法一相同.

解法三：設M（），N（）.

設直線，代入③，整理得

 

 

 

即

 

 

 

∴=，整理得      

 

解得或

 

故直線m的方程為或或

 

經檢驗上述直線方程為

 

所以所求直線方程為或或

 

【解析】略