Question

（本題滿分12分）已知橢圓E：（其中），直  線L與橢圓只有一個公共點T；兩條平行于y軸的直線分別過橢圓的左、右焦點F₁、F₂，且直線L分別相交于A、B兩點．

（Ⅰ）若直線L在軸上的截距為，求證： 直線L斜率的絕對值與橢圓E的離心率相等；（Ⅱ）若的最大值為120⁰，求橢圓E的方程．

Answer 1

(Ⅰ)  見解析  (Ⅱ)  

解析:

法一：（1）設T（x₀，y₀），由對稱性，不妨設，∴，∴且；

∵直線L橢圓E只有一個公共點T，由橢圓E：得，求導

，∴直線L：，得；

∵直線L在軸上的截距為，令，得，∴；

∴直線L斜率的絕對值；

（2）直線L：與的交點，

設，在RTDF₁AF₂和RTDF₁BF₂中，

，當時，

 ；

∵且，∴，

∵最大值為120⁰，只需令，

∴，∴；∴∴橢圓E的方程為．

解法二：（1）依題意設直線L：，代入橢圓E：整理得：

（*），∵直線L橢圓E只有一個公共點T，

∴方程（*）的，

整理得：，①∵直線L在軸上的截距為，∴代入①得，∴；

（2）考慮對稱性，不妨設，由①得，直線L：與的交點，設，在RTDF₁AF₂和RTDF₁BF₂中，，由①得，

當時，

 ，∵且，

∴，

∵最大值為120⁰，只需令，∴；

∴∴橢圓E的方程為．