Question

有兩個投資項目A，B，根據市場調查與預測，A項目的利潤與A項目的投資成正比，其關系如圖甲，B項目的利潤與B項目的投資的算術平方根成正比，其關系如圖乙．（注：利潤與投資單位：萬元）

（1）分別將A，B兩個投資項目的利潤表示為投資x（萬元）的函數關系式；
（2）現將有10萬元資金，將其中x（0≤x≤10）萬元投資A項目，其余投資B項目．h（x）表示投資A項目所得利潤與投資B項目所得利潤之和．求h（x）的最大值，并指出x為何值時，h（x）取得最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于A產品的利潤與投資成正比，可設y₁=k₁•x，從圖1可以得到當x=1時，y₁=0.25，當x=2時，y₁=0.45，從而可以得到k₁，B產品的利潤與投資的算術平方根成正比，可設y₂=k₂•，當x=4時，y₂=2.5，當x=9時，y₂=3.75，從而可得到k₂；
（2）設A產品投入x萬元，則B產品投入10-x萬元，設企業的利潤為w萬元，w=A產品的利潤+B產品的利潤．
解答：解：（1）投資為x萬元，A產品的利潤為y₁萬元，B產品的利潤為y₂萬元，
由題設y₁=k₁•x，y₂=k₂•，由圖知y₁=x，（x≥0），y₂=，（x≥0）

（2）設A產品投入x萬元，則B產品投入10-x萬元，設企業的利潤為w萬元
w=y₁+y₂=，（0≤x≤10），
令 則 ，（0≤t≤）
當t=，y_max≈4，此時x=10-=3.75；
∴當A產品投入3.75萬元，B產品投入6.25萬元時，企業獲得最大利潤約為萬元．
點評：本題考查將實際問題的最值問題轉化為函數的最值問題、考查利用待定系數法求函數的解析式、考查換元法注意新變量的范圍、二次函數的最值與對稱軸有關．