Question

定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x）且f（x）在[-1，0]上是增函數(shù)，給出下列四個(gè)命題：
①f（x）是周期函數(shù)；
②f（x）的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱；
③f（x）在[l，2l上是減函數(shù)；
④f（2）=f（0），
其中正確命題的序號(hào)是

①②④

．（請(qǐng)把正確命題的序號(hào)全部寫出來）

Answer 1

分析：①利用周期性的定義判斷．②利用對(duì)稱性判斷．③利用單調(diào)性和周期性的關(guān)系判斷．④利用函數(shù)的性質(zhì)去求值．

解答：解：①由f（x+1）=-f（x），可得f（x+2）=f（x），即函數(shù)的周期是2，所以f（x）是周期函數(shù)，所以①正確．
②因?yàn)楹瘮?shù)f（x）為偶函數(shù)，所以f（x+2）=f（x）=f（-x），即f（1+x）=f（1-x），所以f（x）的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱，所以②正確．
③因?yàn)閒（x）是周期為2的周期函數(shù)，且函數(shù)f（x）在[-1，0]上是增函數(shù)，所以f（x）在[l，2l上是增函數(shù)，所以③錯(cuò)誤．
④因?yàn)閒（x）是周期為2的周期函數(shù)，所以f（x+2）=f（x），即f（2）=f（0），所以④正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是函數(shù)的性質(zhì)的綜合考查．對(duì)于函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用要熟練掌握．