Question

已知二次函數f（x）=x²-ax+a（x∈R）同時滿足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素；②在定義域內存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．設數列{a_n}的前n項和S_n=f（n）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）設bn=(

3

)an+5，cn=

6bn

bn+1

+

1

bn

-

1

bn+1

，{c_n}前n項和為T_n，T_n-n＞m對（n∈N*，n≥2）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據不等式的解集有一個元素，寫出判別式要滿足的條件，求出a的值，把所求的兩個數值代入解析式進行檢驗，看哪一個符合單調性，求出a的值．
（2）根據數列{a_n}的前n項和S_n=f（n），寫出前n項和的表示式，根據由前n項和求通項的方法寫出數列的通項，驗證首項是否符合所求的通項，得到是一個分段形式．
（3）構造出兩個新數列，要求數列{C_n}的前n項和，把數列分成三部分來求，整理出最簡形式，根據T_n-n＞m對（n∈N*，n≥2）恒成立可轉化為：m＜16+

1

27

+n-

1

3n+1

對n∈N*，n≥2恒成立，根據16+

1

27

+n-

1

3n+1

是關于n的增函數，得到結論．

解答：解（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一個元素，∴△=a²-4a=0?a=0或a=4，
當a=4時，函數f（x）=x²-4x+4在（0，2）上遞減，
故存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立，
當a=0時，函數f（x）=x²在（0，+∞）上遞增，
故不存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立，
綜上，得a=4，f（x）=x²-4x+4．
（2）由（1）可知S_n=n²-4n+4，當n=1時，a₁=s₁=1
當n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=（n²-4n+4）-[（n-1）²-4（n-1）+4]=2n-5．
∴an=sn-sn-1=

1  &n=1 2n-5，n≥2

．
（3）∵bn=(

3

)an+5=

27，n=1 3n，n≥2

，
∴b₁=27，c1=18-

2

27

，n≥2時，cn═2+

1

3n

-

1

3n+1

．
T_n=c₁+c₂+…+c_n=c1+2(n-1)+(

1

32

-

1

3n+1

)]
=18-

2

27

+2n-2+

1

9

-

1

3n+1

=16+

1

27

+2n-

1

3n+1

T_n-n＞m對（n∈N*，n≥2）恒成立可轉化為：m＜16+

1

27

+n-

1

3n+1

對n∈N*，n≥2恒成立，
因為16+

1

27

+n-

1

3n+1

是關于n的增函數，
所以當n=2時，其取得最小值18，
所以m＜18．

點評：本題考查數列與函數的綜合，本題解題的關鍵是根據所給的條件構造新數列，求新數列的和，這里利用數列的求和的基本方法即分組，注意本題中對于特殊項的驗證．