Question

設(shè)(5x-

1

x

)n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，若

M

N

=32，則展開式中x²的系數(shù)為

 

．

Answer 1

分析：利用賦值法求出展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M，而二項(xiàng)式系數(shù)之和為N=2ⁿ，根據(jù)

M

N

=32，從而可求得n的值，利用二項(xiàng)式定理即可求得展開式中含x²項(xiàng)的系數(shù)．

解答：解：∵二項(xiàng)式(5x-

1

x

)n的展開式中，
令x=1得：各項(xiàng)系數(shù)之和M=4ⁿ，
又各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，故N=2ⁿ，
又

M

N

=32，
∴2ⁿ=32，即n=5．
設(shè)二項(xiàng)式（5x-

1

x

）⁵的展開式的通項(xiàng)為T_r+1，
則T_r+1=

C

r 5

•（5x）^5-r•（-1）^r•x-

1

2

r=（-1）^r•5^5-r•

C

r 5

x5-

3

2

r，
令5-

3

2

r=2，解得：r=2，
∴展開式中x²的系數(shù)為（-1）²•5^5-2•

C

2 5

=1250．
故答案為：1250．

點(diǎn)評：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，以及二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)和的求解，求出n的值是關(guān)鍵，考查推理分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．