Question

【題目】某疾病控制中心為了研究某種病毒的抗體，將這種病毒感染源放人含40個小白鼠的封閉容器中進行感染，未感染病毒的小白鼠說明已經產生了抗體，已知小白鼠對這種病毒產生抗體的概率為.現對40個小白鼠進行抽血化驗，為了檢驗出所有產生該種病毒抗體的小白鼠，設計了下面的檢測方案：按（，且是40的約數）個小白鼠平均分組，并將抽到的同組的個小白鼠每個抽取的一半血混合在一起化驗，若發現該病毒抗體，則對該組的個小白鼠抽取的另一半血逐一化驗，記為某組中含有抗體的小白鼠的個數.

（1）若，求的分布列和數學期望.

（2）為減少化驗次數的期望值，試確定的大小.

（參考數據：，，，，）

Answer 1

【答案】（1）分布列見解析，1；（2）4

【解析】

(1)由題意可得，隨機變量的分布滿足二項分布，所以直接利用二項分布公式即可得的分布列和數學期望；

(2)根據平均分組得到的可能取值，再根據二項分布可得出化驗次數的期望值進行比較大小，從而可得出此時的值.

（1）當時，，，.

其分布列為

	0	1	2	3	4	5

.

（2）根據題意，

當時，，對于某組個小白鼠，化驗次數的可能取值為1，，

，，∴，

∴40個小白鼠化驗總次數的期望為，

，，，，，，

∴按4個小白鼠一組化驗可使化驗次數的期望值最小.