Question

如圖，已知空間四邊形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB的中點．
求證：
（1）AB⊥平面CDE；
（2）平面CDE⊥平面ABC；
（3）若G為△ADC的重心，試在線段AE上確定一點F，使得GF∥平面CDE．

Answer 1

分析：（1）要證明AB⊥平面CDE，只需證明AB垂直平面CDE內(nèi)的兩條相交直線CE、DE即可；
（2）易證AB⊥平面CDE，就能證明平面CDE⊥平面ABC；
（3）G為△ADC的重心，連接AG并延長交CD于H，連接EH，推出GF∥EH，AF=2FE可得GF∥平面CDE．

解答：證明：（1）

BC=AC AE=BE

?CE⊥AB，同理，

AD=BD AE=BE

?DE⊥AB，
又∵CE∩DE=E，∴AB⊥平面CDE．
（2）由（1）知AB⊥平面CDE，
又∵AB?平面ABC，
∴平面CDE⊥平面ABC．
（3）連接AG并延長交CD于H，連接EH，則

AG

GH

=

2

1

，
在AE上取點F使得

AF

FE

=

2

1

，
則GF∥EH，
易知當(dāng)AF=2FE時，GF∥平面CDE．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，直線與平面平行，考查邏輯思維能力，空間想象能力，是中檔題．