Question

設S_n為數列{a_n}的前n項和,已知a₁≠0,2a_n-a₁=S₁·S_n,n∈N^*.
(1)求a₁,a₂,并求數列{a_n}的通項公式;
(2)求數列{na_n}的前n項和.

Answer 1

(1) a₁=1   a₂=2   a_n=2^n-1  (2) B_n=1+(n-1)·2ⁿ

解:(1)令n=1,得2a₁-a₁=,即a₁=.
因為a₁≠0,所以a₁=1.
令n=2,得2a₂-1=S₂=1+a₂,解得a₂=2.
當n≥2時,由2a_n-1=S_n,2a_n-1-1=S_n-1兩式相減,
得2a_n-2a_n-1=a_n,即a_n=2a_n-1.
于是數列{a_n}是首項為1,公比為2的等比數列.
因此,a_n=2^n-1.所以數列{a_n}的通項公式為a_n=2^n-1.
(2)由(1)知,na_n=n·2^n-1.
記數列{n·2^n-1}的前n項和為B_n,
于是B_n=1+2×2+3×2²+…+n×2^n-1,①
2B_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ.②
①-②,得-B_n=1+2+2²+…+2^n-1-n·2ⁿ=2ⁿ-1-n·2ⁿ.
從而B_n=1+(n-1)·2ⁿ.