Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求在時的最值；

（2）若，時，都有，求實數(shù)的范圍.

Answer 1

【答案】（1）最小值為，最大值為；（2）.

【解析】

（1）將代入函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，可得出函數(shù)在時的最小值和最大值；

（2）由可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上是減函數(shù)，設(shè)，由可得出，構(gòu)造函數(shù)，可得出在區(qū)間上為減函數(shù)，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，利用參變量分離法可求出實數(shù)的取值范圍.

（1）當(dāng)時，，則.

當(dāng)時，令，得.

當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增.

所以，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，

又，，

則函數(shù)在區(qū)間上的最大值為；

（2）若，在區(qū)間上是增函數(shù)，函數(shù)是減函數(shù).

不妨設(shè)，由已知：，

，

記，，

則在區(qū)間是減函數(shù)，在上恒成立.

，記，在上恒成立，

函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，，又，

因此，實數(shù)取值范圍是.