Question

若實數x、y、m滿足|x-m|<|y-m|，則稱x比y接近m。
 （I）若x²-1比3接近0，求x的取值范圍；
 （Ⅱ）對任意兩個不相等的正數a、b，證明：a²b+ab²比a³+b³接近2ab；
 （Ⅲ）已知函數f（x）的定義域D={x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}。任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個值。寫出函數f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調性（結論不要求證明）。

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意得|x²-1|<3，即-3<x²-1<3
解得-2<x<2
∴x的取值范圍是（-2，2）；
（Ⅱ）證明：當a、b是不相等的正數時，a³+b³-（a²b+ab²）=（a-b）²（a+b）>0
又
則
于是
接近；
（Ⅲ）由|1-sinx|< |1+sinx|得1-sinx<1+sinx，即sinx>0，則2kπ<x<2kπ+π（k∈Z）
同理，若|1+sinx|< |1-sinx|，則2kπ+π<x<2kπ +2π（k∈Z）
于是，函數f（x）的解析式是

函數f（x）的大致圖象如下：

函數f（x）的最小正周期T=π
函數f（x）是偶函數
當時，函數f（x）取得最小值0
函數f（x）在上單調遞減；
在上單調遞增。