Question

（08年濰坊市八模） 在棱長為a的正方體中，E，F分別是棱AB，BC上的動點，且AE＝BF．

　　（1）求證：；

　　（2）當三棱錐的體積取得最大值時，求二面角的大小（結果用反三角函數表示）．

Answer 1

解析:（1）證明：如圖，以O為原點建立空間直角坐標系．

　　設AE＝BF＝x，則（a，0，a），F（a-x，a，0），（0，a，a），E（a，x，0），

　　∴　（-x，a，-a），

　　（a，x-a，-a）．

　　∵　，

　　∴　．

 

　　（2）解：記BF＝x，BE＝y，則x＋y＝a，則三棱錐的體積為

　　．

　　當且僅當時，等號成立，因此，三棱錐的體積取得最大值時，．

　　過B作BD⊥BF交EF于D，連結，則．

　　∴　∠是二面角的平面角．在Rt△BEF中，直角邊，BD是斜邊上的高，　　

  ∴　

　　在Rt△中，tan∠．故二面角的大小為．