Question

本題共有（1）、（2）、（3）三個(gè)選答題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則以所做的前2題計(jì)分．作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中．
（1）選修4-2：矩陣與變換
變換T₁是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的旋轉(zhuǎn)變換，對(duì)應(yīng)的變換矩陣為M₁，變換T₂對(duì)應(yīng)的變換矩陣是；
（I）求點(diǎn)P（2，1）在T₁作用下的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（II）求函數(shù)y=x²的圖象依次在T₁，T₂變換的作用下所得的曲線方程．
（2）選修4-4：極坐標(biāo)系與參數(shù)方程
從極點(diǎn)O作一直線與直線l：ρcosθ=4相交于M，在OM上取一點(diǎn)P，使得OM•OP=12．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)R為l上的任意一點(diǎn)，試求RP的最小值．
（3）選修4-5：不等式選講
已知f（x）=|6x+a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≥4的解集為，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若f（x）+f（x-1）＞b對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出M₁，可得點(diǎn)P（2，1）在T₁作用下的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．設(shè)變換為M，則M=M₂M₁=，設(shè)（x，y）是變換后曲線上的任意一點(diǎn)，與之對(duì)應(yīng)的變換前的點(diǎn)是（x，y），根據(jù) =，可得x=x-y，x=y，再由
又y=x²，得到 y-x=y²．
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的極坐標(biāo)（ρ，θ），點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（ρ，θ），則ρρ=12，可得ρ=3cosθ （扣除極點(diǎn)）．
根據(jù)P的軌跡是以（1.5，0）為圓心，以1.5為半徑的圓，得RP的最小值為1．
（3）由|6x+a|≥4 解得x≥，或 x≤，從而 =，=-，解得 a=1，求出f（x）
的解析式，求出f（x）+f（x-1）的最小值為12，可得b＜12．
解答：（1）解：（Ⅰ），點(diǎn)P（2，1）在T₁作用下的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-1，2）．…4分
（II）設(shè)變換為M，則M=M₂M₁=，設(shè)（x，y）是變換后曲線上的任意一點(diǎn)，與之對(duì)應(yīng)的變換前的點(diǎn)是（x，y），
則有 =，∴x=x-y，x=y．
又y=x²，∴y-x=y²．
（2）解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的極坐標(biāo)（ρ，θ），點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（ρ，θ），則ρρ=12．
又ρcosθ=4，∴ρ=3cosθ （扣除極點(diǎn)）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以（1.5，0）為圓心，以1.5為半徑的圓，故RP的最小值為1．
（3）解：由|6x+a|≥4 解得x≥，或 x≤，∴=，=-，
解得 a=1． 此時(shí)，f（x）=|6x+1|，f（x+1）=|6x+7|，f（x-1）=|6x-5|．
f（x）+f（x-1）=|6x+7|+|6x-5|≥|（6x+7）-（6x-5）|=12，故b＜12．
點(diǎn)評(píng)：本題考查矩陣運(yùn)算，簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，函數(shù)的恒成立問題，是一道基礎(chǔ)題．