Question

在△ABC中，，，又E點在BC邊上，且滿足，以A、B為焦點的雙曲線經過C、E兩點.

（1）求此雙曲線的方程；

（2）設P是此雙曲線上任意一點，過A點作∠APB平分線的垂線，垂足為M，求M點的軌跡方程.

Answer 1

解：（1）以線段AB的中點O為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標系，如圖

∴A（－1，0），B（1，0），

作CD⊥AB于D，由已知，∴cosA=,即=,

同理又∵，∴，

設雙曲線的方程為=1(a＞0,b＞0),C(-,h),E(x₁,y₁),

又，∴又E、C兩點在雙曲線上，

∴解得a²=,

∴b²=

∴雙曲線方程為7x²-y²=1.

（2）設AM的延長線或延長線交PB于N點，則△PAN是等腰三角形，|PA|=|PN|且M是AN的中點，

∴|OM|=|NB|=||PB|-|PN||=||PB|-|PA||=a,

∴M點的軌跡是以O為圓心，以a為半徑的圓，∴方程為x²+y²=.