Question

定義運算：a⊙b=a²+2ab-b²，設函數f（x）=x⊙2，且關于x的方程f（x）=lg|x+2|恰有四個互不相等的實數根x₁、x₂、x₃、x₄，則x₁+x₂+x₃+x₄=（　　）

A．-8

B．-4

C．4

D．8

Answer 1

分析：由題意可得函數f（x）=x⊙2 的解析式，可得y=f（x）的圖象和函數y=lg|x+2|的圖象恰有四個交點，且這4個交點的橫坐標分別為x₁、x₂、x₃、x₄ ．
再根據這2個函數的圖象都關于直線x=-2對稱，可得這四個互不相等的實數根x₁、x₂、x₃、x₄關于直線x=-2對稱，從而求得x₁+x₂+x₃+x₄ 的值．

解答：解：由題意可得函數f（x）=x⊙2=x²+4x-4，
再根據關于x的方程f（x）=lg|x+2|恰有四個互不相等的實數根 x₁、x₂、x₃、x₄，
可得函數y=f（x）的圖象（圖中的紅線）和函數y=lg|x+2|的圖象（圖中的藍線）恰有四個交點，
且這4個交點的橫坐標分別為x₁、x₂、x₃、x₄ ．
再根據這2個函數的圖象都關于直線x=-2對稱，
可得這四個互不相等的實數根x₁、x₂、x₃、x₄，關于直線x=-2對稱，
不妨設 x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
故有四個互不相等的實數根滿足 x₁+x₄=-4，x₂+x₃=-4，則x₁+x₂+x₃+x₄=-8，
故選A．

點評：本題主要考查函數的零點與方程的跟的關系，函數圖象的對稱性，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．