Question

一名高二學生盼望進入某名牌大學學習，不放棄能考入該大學的任何一次機會．已知該大學通過以下任何一種方式都可被錄取：
①2010年2月國家數學奧賽集訓隊考試通過（集訓隊從2009年10月省數學競賽壹等獎獲得者中選拔，通過考試進入集訓隊則能被該大學提前錄取）；
②2010年3月自主招生考試通過并且2010年6月高考分數達重點線；
③2010年6月高考達到該校錄取分數線（該校錄取分數線高于重點線）．
該名考生競賽獲省一等獎．自主招生考試通過．高考達重點線．高考達該校分數線等事件的概率如下表：

事件	省數學競獲一等獎	自主招生考試通過	高考達重點線	高考達該校分數線
概率	0.5	0.7	0.8	0.6

如果數學競賽獲省一等獎，該學生估計自己進入國家集訓隊的概率是0.4．
（1）求該學生參加自主招生考試的概率；
（2）求該學生參加考試次數的分布列與數學期望；
（3）求該學生被該大學錄取的概率．

Answer 1

分析：（1）設該生參加省數學競賽獲一等獎、參加國家集訓隊時間分別為A、B則P₁=P（

.

A

）+P（A

.

B

），然后利用互斥事件的概率公式進行求解；
（2）ξ=2，3，4，然后分別求出相應的概率，列出分布列，根據數學期望公式進行求解即可；
（3）設自主招生通過并且高考達重點線錄取、自主招生未通過且高考達該校線錄取的事件分別為C、D，該學生被該校錄取的事件分為三種事件，AB、C、D，分別求出對應的概率，最后相加即可．

解答：解：（1）設該生參加省數學競賽獲一等獎、參加國家集訓隊時間分別為A、B
則P₁=P（

.

A

）+P（A

.

B

）=0.5+0.5×0.6=0.8，
該考生參加自主招生考試的概率為0.8．
（2）ξ=2，3，4，P（ξ=2）=0.5×0.4=0.2；
P（ξ=3）=0.5；P（ξ=4）=0.5×0.6=0.3，
∴ξ的分布列為：

ξ	2	3	4
P	0.2	0.5	0.3

Eξ=2×0.2+3×0.5+4×0.3=3.1．
（3）設自主招生通過并且高考達重點線錄取、自主招生未通過且高考達該校線錄取的事件分別為C、D
（i）P（AB）=0.2
（ii）P（C）=0.8×0.7×0.8=0.448，
（iii）P（D）=0.8×0.3×0.6=0.144，
∴該學生被該校錄取的概率為：
P₂=P（AB）+P（C）+P（D）=0.792．

點評：本題關鍵是理解題意，題干比較長，給我們解題制造了困難，但本題的題意和同學們又很接近，這是同學們比較感興趣的問題，考查運用概率知識解決實際問題的能力，屬于中檔題．