Question

用e，f，g三個不同字母組成一個含n+1（n∈N^*）個字母的字符串，要求由字母e開始，相鄰兩個字母不能相同．例如n=1時，排出的字符串是ef，eg；n=2時排出的字符串是efe，efg，ege，egf，…．記這種含n+1個字母的所有字符串中，排在最后一個的字母仍是e的字符串的個數為a_n，則a₁=0，a₂=2，a₄=

 

，a_n=

 

．

Answer 1

分析：先猜想a_n+a_n-1=2^n-1，（n≥2），證明{

an

2n

-

1

3

}組成以-

1

3

為首項，

1

2

為公比的等比數列，可得結論．

解答：解：由題意，a₁=0，a₂=2，a₃=2，a₄=6，
∴a₁+a₂=2，a₂+a₃=2+2=4，a₃+a₄=2+6=8，
由此猜想：a_n+a_n-1=2^n-1，（n≥2）．
∴

an

2n

=

1

2

-

1

2

•

an-1

2n-1

，
∴

an

2n

-

1

3

=

1

2

（

an-1

2n-1

-

1

3

）
∴{

an

2n

-

1

3

}組成以-

1

3

為首項，

1

2

為公比的等比數列，
∴

an

2n

-

1

3

=-

1

3

•(

1

2

)n-1，
∴a_n=

2n+2•(-1)n

3

故答案為：6，

2n+2•(-1)n

3

．

點評：本題考查新定義，考查等比數列的嗎，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．