Question

如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，為的中點。

（1）若，求證：平面平面；

（2）點在線段上，，試確定的值，使平面；

（3）在（2）的條件下，若平面平面ABCD，且，求二面角的大小。

Answer 1

解析:(1)連BD,四邊形ABCD菱形,  ∵AD⊥AB,  ∠BAD=60°

△ABD為正三角形, Q為AD中點, ∴AD⊥BQ

∵PA=PD,Q為AD的中點,AD⊥PQ

又BQ∩PQ=Q  ∴AD⊥平面PQB, AD平面PAD

∴平面PQB⊥平面PAD;  

 (2)當時,平面

下面證明,若平面,連交于

由可得,,

平面,平面,平面平面,

   即:   ; 

(3)由PA=PD=AD=2, Q為AD的中點,則PQ⊥AD.

又平面PAD⊥平面ABCD,所以PQ⊥平面ABCD,

以Q為坐標原點,分別以QA、QB、QP所在的直線為軸,建立如圖所示的坐標系,則各點坐標為A(1,0,0),B(),Q(0,0,0),P(0,0,)

設平面MQB的法向量為,可得

,解得

取平面ABCD的法向量

故二面角的大小為60°;