Question

已知二次函數f(x)=ax²+bx,f(x+1)為偶函數,函數f(x)的圖象與直線y=x相切.
（I）求f(x)的解析式;
（II）已知k的取值范圍為[,+∞),則是否存在區間[m,n](m<n),使得f(x)在區間[m,n]上的值域恰好為[km,kn]?若存在,請求出區間[m,n];若不存在,請說明理由.

Answer 1

解：(1)∵f(x+1)為偶函數,∴f(-x+1)=f(x+1),
即a(-x+1)²+b(-x+1)=a(x+1)²+b(x+1)恒成立,
即(2a+b)x=0恒成立,∴2a+b=0,∴b=-2a,∴f(x)=ax²-2ax,
∵函數f(x)的圖象與直線y=x相切,
∴二次方程ax²-(2a+1)x=0有兩相等實數根,∴Δ=(2a+1)²-4a×0=0,
∴a=,f(x)=- x²+x.         ......5分
(2)∵f(x)=- (x-1)²+≤,
∴[km,kn]⊆(-∞,],∴kn≤,又k≥,∴n≤≤,
又[m,n]⊆ (-∞,1],f(x)在[m,n]上是單調增函數,即-
即m,n為方程-x²+x=kx的兩根,解得x₁=0,x₂=2-2k.∵m<n且k≥.
故當≤k<1時,[m,n]="[0,2-2k];" 當k>1時,[m,n]=[2-2k,0]; 當k=1時,[m,n]不存在.

解析