Question

給出以下命題：
（1）?x∈R，使得sinx+cosx＞1；
（2）函數f(x)=

sinx

x

在區間(0，

π

2

)上是單調減函數；
（3）“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要條件；
（4）在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的必要不充分條件．
其中是真命題的個數是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：（1）令x=

π

4

，舉出正例可證明一個存在性命題為真
（2）求出函數的導函數，分析導函數在指定區間上的符號，進而分析出其單調性
（3）分別判斷“x＞1”⇒“|x|＞1”和“|x|＞1”⇒“x＞1”的真假，進而根據充要條件的定義可以判斷
（4）根據正弦定理及三角形大邊對大角，可判斷△ABC中，“A＞B”與“sinA＞sinB”的充要關系

解答：解：當x=

π

4

時，sinx+cosx=

2

＞1，故（1）?x∈R，使得sinx+cosx＞1正確；
∵f(x)=

sinx

x

，∴f′(x)=

x•cosx-sinx

x2

=

x-tanx

cosx•x2

，
當x∈(0，

π

2

)時，∵cosx＞0，x-tanx＜0，x²＞0，
∴f'（x）＜0，故f（x）在區間(0，

π

2

)上單調遞減，故（2）正確．
當“x＞1”時是“|x|＞1”成立，但“|x|＞1”時，“x＞1或x＜-1”，故“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要條件；
在△ABC中，“A＞B”?“a＞b”?“sinA•2R＞sinB•2R”（其中R為三角形外接圓半徑）?“sinA＞sinB”，故A＞B”是“sinA＞sinB”的充要條件，故（4）錯誤
故選C

點評：本題考查的知識點是特稱命題，命題的真假判斷，函數的單調性，充要條件，其中熟練掌握上述基本知識點是解答的關鍵．