Question

設函數y=f（x）=x²-bx+1，且y=f（x+1）的圖象關于直線x=-1對稱．又y=f（x）的圖象與一次函數g（x）=kx+2（k＜0）的圖象交于兩點A、B，且|AB=

10

|．
（1）求b及k的值；
（2）記函數F（x）=f（x）g（x），求F（x）在區間[0，1]上的最小值；
（3）若sinα，sinβ，sinγ∈[0，1]，且sinα+sinβ+sinγ=1，試根據上述（1）、（2）的結論證明：

sinα

1+sin2α

+

sinβ

1+sin2β

+

sinγ

1+sin2γ

≤

9

10

．

Answer 1

分析：（1）已知函數y=f（x）=x²-bx+1，根據偶函數的性質，f（-x）=f（x），求出b值，設方程x²+1=kx+2的兩根為x₁，x₂，由|AB|=

10

，可以求出k值；
（2）由（1）可知，將f（x）和g（x）代入F（x），對F（x）進行求導，利用導數研究函數的最值問題，從而求解；
（3）由（2）知，當x∈[0，1]時，有不等式（1+x²）（2-x）≥

50

27

恒成立，可以轉化為

x

1+x2

≤

27

50

（2x-x²），利用此不等式進行放縮，從而進行證明；

解答：解：（1）由已知，y=f（x）=x²-bx+1為偶函數，所以b=0；      …（2分）
設方程x²+1=kx+2的兩根為x₁，x₂，由|AB|=

10

得：

1+k2

|x₁-x₂|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

(1+k2)(k2+4)

=

10

解得k=-1；                                                         …（4分）
（2）由（1）知f（x）=x²+1，g（x）=-x+2，故F（x）=f（x）g（x）=-x³+2x²-x+2，
由F′（x）=-3x²+4x-1=0，解得x₁=1，x₂=

1

3

，…（6分）
列表如下：

x	0	（0， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，1）	1
F′（x）		-		+
F（x）	2	減函數	50 27	增函數	2

所以，函數F（x）在區間[0，1]上的最小值為f（

1

3

）=

50

27

；                  …（10分）
（3）由（2）知，當x∈[0，1]時，有不等式（1+x²）（2-x）≥

50

27

恒成立，
所以

1

1+x2

≤

27

50

（2-x），有

x

1+x2

≤

27

50

（2x-x²），…（12分）
當sinα，sinβ，sinγ∈[0，1]，且sinα+sinβ+sinγ=1時，

sinα

1+sin2α

+

sinβ

1+sin2β

+

sinγ

1+sin2γ

≤

27

50

[2（sinα+sinβ+sinγ）-（sin²α+sin²β+sin²γ）
=

27

50

[2-(sin2α+sin2β+sin2γ)]                                    …（14分）
又1=（sinα+sinβ+sinγ）²≤3（sin²α+sin²β+sin²γ），
∴sin²α+sin²β+sin²γ≥

1

3

，
∴

sinα

1+sin2α

+

sinβ

1+sin2β

+

sinγ

1+sin2γ

≤

27

50

（2-

1

3

）=

9

10

，
當且僅當sinα=sinβ=sinγ=

1

3

時，等號成立．…（16分）

點評：此題主要考查利用導數研究函數的單調性及其最值問題，解題的過程中用到了轉化的思想，第三問難度比較大，需要用到前兩問的結論，是一道難題，同學們要認真做好筆記；