Question

(本小題滿分14分)已知函數，(x>0)．
（1）當0<a<b，且f(a)=f(b)時，求的值 ；   
（2）是否存在實數a，b（a<b），使得函數y=f(x)的定義域、值域都是[a，b]，若存在，求出a，b的值，若不存在，請說明理由．
（3）若存在實數a，b（a<b），使得函數y=f(x)的定義域為 [a，b]時，值域為 [ma，mb]，(m≠0)，求m的取值范圍．

Answer 1

（14分）（1）．
（2）不存在滿足條件的實數a，b．
（3）

（14分）解：（1）∵x>0，∴
∴f(x)在（0，1）上為減函數，在上是增函數．
由0<a<b，且f(a)=f(b)，可得 0<a1<b和．即．
……………………3分
（2）不存在滿足條件的實數a，b．
若存在滿足條件的實數a，b，使得函數y=的定義域、值域都是[a，b]，
則a>0． 而
①當時，在（0，1）上為減函數．
故    即 解得  a=b．
故此時不存在適合條件的實數a，b．
②當時，在上是增函數．
故    即 
此時a，b是方程的根，此方程無實根．
故此時不存在適合條件的實數a，b．
③當，時，由于，而，
故此時不存在適合條件的實數a，b．
綜上可知，不存在適合條件的實數a，b．        …………………………8分
（3）若存在實數a，b（a<b），使得函數y=f(x)的定義域為[a，b]時，值域為[ma，mb]．
則a>0，m>0．
①  當時，由于f(x)在（0，1）上是減函數，故．此時得a=b，不符合題意，所以a，b不存在．                              
②  當，時，由（2）知0在值域內，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．
故只有．
∵在上是增函數，
∴ 即   所以a、b是方程的兩個根．
即關于x的方程有兩個大于或等于1的相異實根．
設這兩個根為、，則+=，·=．
∴      即   解得  ．
故m的取值范圍是．   ……………………………14分