Question

設函數f(x)=ax+

1

x+b

(a，b∈Z)，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y=3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式：
（Ⅱ）證明：函數y=f（x）的圖象是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心；
（Ⅲ）證明：曲線y=f（x）上任一點的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值．

Answer 1

分析：（I）欲求在點（2，f（2））處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=2處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（Ⅱ）由函數y₁=x，y2=

1

x

都是奇函數．可得和函數也是奇函數，其圖象是以原點為中心的中心對稱圖形．再按向量a=（1，1）平移，即得到函數f（x）的圖象，故函數f（x）的圖象是以點（1，1）為中心的中心對稱圖形．
（Ⅲ）先在曲線上任取一點(x0，x0+

1

x0-1

)．利用導數求出過此點的切線方程為，令x=1得切線與直線x=1交點．令y=x得切線與直線y=x交點．從而利用面積公式求得所圍三角形的面積為定值．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=a-

1

(x+b)2

，
于是

2a+ 1 2+b =3 a- 1 (2+b)2 =0

解得

a=1 b=-1

或

a= 9 4 b=- 8 3 .

因a，b∈Z，故f(x)=x+

1

x-1

．
（Ⅱ）證明：已知函數y₁=x，y2=

1

x

都是奇函數．
所以函數g(x)=x+

1

x

也是奇函數，其圖象是以原點為中心的中心對稱圖形．
而f(x)=x-1+

1

x-1

+1．可知，函數g（x）的圖象按向量a=（1，1）平移，即得到函數f（x）的圖象，
故函數f（x）的圖象是以點（1，1）為中心的中心對稱圖形．
（Ⅲ）證明：在曲線上任取一點(x0，x0+

1

x0-1

)．
由f′(x0)=1-

1

(x0-1)2

知，過此點的切線方程為y-

x 2 0 -x0+1

x0-1

=[1-

1

(x0-1)2

](x-x0)．
令x=1得y=

x0+1

x0-1

，切線與直線x=1交點為(1，

x0+1

x0-1

)．
令y=x得y=2x₀-1，切線與直線y=x交點為（2x₀-1，2x₀-1）．
直線x=1與直線y=x的交點為（1，1）．
從而所圍三角形的面積為

1

2

|

x0+1

x0-1

-1||2x0-1-1|=

1

2

|

2

x0-1

||2x0-2|=2．
所以，所圍三角形的面積為定值2．

點評：本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程、函數解析式的求解及待定系數法等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．