Question

（本小題滿分12分）

已知數列中，，且，其前項和為，且當時，．

（Ⅰ）求證：數列是等比數列；

（Ⅱ）求數列的通項公式；

（Ⅲ）若，令，記數列的前項和為．設是整數，問是否存在正整數，使等式成立？若存在，求出和相應的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）當時，，

     化簡得，

     又由，可推知對一切正整數均有，

     ∴數列是等比數列．            ---------------- 4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知等比數列的首項為1，公比為，  

         ∴．

當時，，

又，

∴              ----------8分

     （Ⅲ）當時，，此時

          

              ，

           又，

           ∴

           ，

           當時，

   ．

若，則等式為，不是整數，不符合題意．

若，則等式為，

是整數，∴是5的因數．

∴當且僅當時，是整數， ∴

綜上所述，當且僅當時，存在正整數，使等式成立．