Question

已知函數．

（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）求函數的單調區間；

（Ⅲ）設函數．若至少存在一個，使得成立，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）單調遞增區間為和，

單調遞減區間為（Ⅲ）

【解析】函數的定義域為，．………1分

（Ⅰ）當時，函數，，．

所以曲線在點處的切線方程為，

即．………………………3分

（Ⅱ）函數的定義域為．

（1）當時，在上恒成立，

則在上恒成立，此時在上單調遞減． ……………4分

（2）當時，，

（ⅰ）若，

由，即，得或； ………………5分

由，即，得．………………………6分

所以函數的單調遞增區間為和，

單調遞減區間為． ……………………………………7分

（ⅱ）若，在上恒成立，則在上恒成立，此時 在上單調遞增． ………………………………………………………………8分

（Ⅲ））因為存在一個使得，

則，等價于.…………………………………………………9分

令，等價于“當 時，”.

對求導，得.……………………………………………10分

因為當時，，所以在上單調遞增. ……………12分

所以，因此. …………………………………………13分

另【解析】
設，定義域為，

.

依題意，至少存在一個，使得成立，

等價于當 時，. ………………………………………9分

（1）當時，

在恒成立，所以在單調遞減，只要，

則不滿足題意.…… 10分

（2）當時，令得.

（ⅰ）當，即時，

在上，所以在上單調遞增，

所以，由得，，所以.………11分

（ⅱ）當，即時，

在上，所以在單調遞減，

所以，由得.………………12分

（ⅲ）當，即時， 在上，在上，

所以在單調遞減，在單調遞增，

，等價于或，解得，所以，.

綜上所述，實數的取值范圍為.………………………………………13分