Question

設M是由滿足下列條件的函數f(X)構成的集合：
①方程有實數根；
②函數的導數 (滿足”
(I )若函數為集合M中的任一元素，試證明萬程只有一個實根_；
(II)   判斷函^是否是集合M中的元素，并說明理由；
(III)  “對于（II)中函數定義域內的任一區間，都存在，使得”，請利用函數的圖象說明這一結論.

Answer 1

（Ⅰ）令，則，即在區間上單調遞減
所以，使，即成立的至多有一解，┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分
又由題設①知方程有實數根，
所以，方程只有一個實數根；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分
（Ⅱ）由題意易知，，滿足條件②┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
令，
則，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
又在區間上連續，所以在上存在零點，
即方程有實數根，故滿足條件①，
綜上可知，；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：，
而，
所以原式等價于，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分
該等式說明函數上任意兩點和的連線段 （如圖所示），在曲線上都一定存在一點，使得該點 處的切線平行于，根據圖象知該等式一定成立.

略