Question

當x＞1時，不等式x+

1

x-1

≥a恒成立，則實數a的取值范圍是（　　）

A．（-∞，2]

B．[2，+∞）

C．[3，+∞）

D．（-∞，3]

Answer 1

分析：由題意當x＞1時，不等式x+

1

x-1

≥a恒成立，由于x+

1

x-1

的最小值等于3，可得a≤3，從而求得答案．

解答：解：∵當x＞1時，不等式x+

1

x-1

≥a恒成立，
∴a≤x+

1

x-1

對一切非零實數x＞1均成立．
由于x+

1

x-1

=x-1+

1

x-1

+1≥2+1=3，
當且僅當x=2時取等號，
故x+

1

x-1

的最小值等于3，
∴a≤3，
則實數a的取值范圍是（-∞，3]．
故選D．

點評：本題考查查基本不等式的應用以及函數的恒成立問題，求出x+

1

x-1

的最小值是解題的關鍵．