Question

當今世界進入了計算機時代，我們知道計算機裝置有一個數據輸入口A和一運算結果輸出口B，某同學編入下列運算程序，將數據輸入且滿足以下性質：
①從A輸入1時，從B得到；
②從A輸入整數n（n≥2）時，在B得到的結果f（n）是將前一結果f（n-1）先乘以奇數2n-3，再除以奇數2n+1．
（1）求f（2），f（3），f（4）；
（2）試由（1）推測f（n）的表達式，并用數學歸納法證明；
（3）求．

Answer 1

（1）解：是題意知f（1）=，f（n）=f（n-1），
∴當n=2時f（x）=，
當n=3時f（3）=，
當n=4時f（4）=，
猜想f（n）=．…（3分）
（2）證明：（ⅰ）當n=1時f（1）=滿足f（n）=．
（ⅱ）假設n=k（k∈N^*且k≥1）時，f（k）=．，
那么n=k+1時，f（k+1）=f（k）=×=
∴n=k+1時也滿足f（n）=．
綜上知：f（n）=．…（8分）
（3）=
=lim（1-+-+…+-）
== …（12分）
分析：（1）由已知，得出f（n）=f（n-1）（n≥2）．依次令n=2，3，4可求出f（2），f（3），f（4）；
（2）根據（1）的結果，推測并依照數學歸納法進行證明．
（3）f（n）=裂項為（）．求和后再求極限．
點評：本題考查閱讀、推理、論證、計算能力，借助于數列的遞推公式，裂項法求和、極限的知識繼續能力考查．