Question

四面體的六條棱中，有五條棱長(zhǎng)都等于a.

(1)求該四面體的體積的最大值；

(2)當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，求其表面積．

 

Answer 1

（1）a3（2）a2

【解析】(1)如圖，在四面體ABCD中，設(shè)AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取AD的中點(diǎn)為P，BC的中點(diǎn)為E，連結(jié)BP、EP、CP.得到AD⊥平面BPC，

∴VA－BCD＝VA－BPC＋VD－BPC＝·S△BPC·AP＋S△BPC·PD＝·S△BPC·AD＝··a≤·＝a3(當(dāng)且僅當(dāng)x＝a時(shí)取等號(hào))．

∴該四面體的體積的最大值為a3.

(2)由(1)知，△ABC和△BCD都是邊長(zhǎng)為a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰長(zhǎng)為a，底邊長(zhǎng)為a，

∴S表＝2×a2＋2××a×＝a2＋a×＝a2＋＝a2.