Question

已知函數是定義在上的奇函數，當時，（為常數）。

(1) 求函數的解析式；

(2) 當時，求在上的最小值，及取得最小值時的，并猜想在上的單調遞增區間（不必證明）；

(3) 當時，證明：函數的圖象上至少有一個點落在直線上。

  

Answer 1

 解：(1) 時，， 則

∵函數是定義在上的奇函數，即

∴，即 ，                                  3分

又可知 。                                                        4分

∴函數的解析式為 ；                           6分

(2) ，∵，，∴。

∵                         9分

∴，即 ，

。                                          11分

∴猜想在上的單調遞增區間為。                           12分

(3) 時，任取，

∵

∴在上單調遞增，即，即   14分

∵，∴，，∴，                     16分

且函數的圖像是連續的曲線，

∴當時，函數的圖象上至少有一個點落在直線上。             18分