Question

（2012•湖南模擬）如圖，三棱錐P-ABC中，側面PAC⊥底面ABC，∠APC=90°，且AB=4，AP=PC=2，BC=2

2

．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面PBC；
（Ⅱ）若E為側棱PB的中點，求直線AE與底面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先證明PA⊥PC，再證明BC⊥平面ACP，可得PA⊥BC，利用線面垂直的判定，可得PA⊥平面PBC；
（Ⅱ）取AC中點O，連接PO、OB，并取OB中點H，連接AH、EH，證明∠EAH為直線AE與底面ABC所成角，且sin∠EAH=

EH

AE

，由此可得結論．

解答：（Ⅰ） 證明：由∠APC=90°知，PA⊥PC，
又AP=PC=2，所以AC=2

2

，…（2分）
又AB=4，BC=2

2

，所以AC²+BC²=AB²，
所以∠ACB=90°，即BC⊥AC，…（3分）
又側面PAC⊥底面ABC，側面PAC∩底面ABC平面=AC，BC?平面ABC，
所以BC⊥平面ACP，所以PA⊥BC，…（5分）
又PC∩BC=C，所以PA⊥平面PBC…（6分）
（Ⅱ）解：如圖，取AC中點O，連接PO、OB，并取OB中點H，連接AH、EH，
因為PA=PC，所以PO⊥AC，
∵BC⊥平面ACP，PO?平面ACP
∴BC⊥PO
∵AC∩BC=C，∴PO⊥平面ABC，
又E為側棱PB的中點，H為OB中點，∴EH∥PO
∴EH⊥平面ABC，…（8分）
∴∠EAH為直線AE與底面ABC所成角，且sin∠EAH=

EH

AE

…（10分）
又PO=

1

2

AC=

2

，∴EH=

1

2

PO=

2

2

，
∵PA⊥平面PBC，PB?平面PBC，∴AP⊥PB，∴PB=2

3

，PE=

3

，
∴AE=

7

，…（11分）
∴sin∠EAH=

EH

AE

=

2 2

7

=

14

14

所以直線AE與底面ABC所成角的正弦值為

14

14

．…（12分）

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，考查線面角，掌握線面垂直的判定，正確作出線面角是關鍵．