Question

（2013•黃埔區一模）給定橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，稱圓心在原點O、半徑是

a2+b2

的圓為橢圓C的“準圓”．已知橢圓C的一個焦點為F(

2

，0)，其短軸的一個端點到點F的距離為

3

．
（1）求橢圓C和其“準圓”的方程；
（2）過橢圓C的“準圓”與y軸正半軸的交點P作直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓C都只有一個交點，求l₁，l₂的方程；
（3）若點A是橢圓C的“準圓”與x軸正半軸的交點，B，D是橢圓C上的兩相異點，且BD⊥x軸，求

AB

•

AD

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓和其“準圓”的標準方程及其定義即可得出；
（2）先求出點P的坐標，設出與橢圓相切的直線的方程，并與橢圓的方程聯立，利用△=0即可求出切線的斜率，進而可 求出直線l₁，l₂的方程；
（3）先設出點B、D的坐標并求出點A的坐標，利用向量的數量積得出

AD

•

AB

，再利用點B在橢圓上即可得出其取值范圍．

解答：解：（1）由題意可得：a=

3

，c=

2

，b=1，∴r=

( 3 )2+12

=2．
∴橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1，其“準圓”的方程為x²+y²=4；
（2）由“準圓”的方程為x²+y²=4，令y=0，解得x=±2，取P（2，0），
設過點P且與橢圓相切的直線l的方程為my=x-2，
聯立

my=x-2 x2 3 +y2=1

，消去x得到關于y的一元二次方程（3+m²）x²+4m+1=0，
∴△=16m²-4（3+m²）=0，解得m=±1，
故直線l₁、l₂的方程分別為：y=x-2，y=-x+2．
（3）由“準圓”的方程為x²+y²=4，令y=0，解得x=±2，取點A（2，0）．
設點B（x₀，y₀），則D（x₀，-y₀）．
∴

AB

•

AD

=（x₀-2，y₀）•（x₀-2，-y₀）=(x0-2)2-y02，
∵點B在橢圓

x2

3

+y2=1上，∴

x02

3

+y02=1，∴y02=1-

x02

3

，
∴

AD

•

AB

=(x0-2)2-1+

x02

3

=

4

3

(x0-

3

2

)2，
∵-

3

＜x0＜

3

，
∴0≤

4

3

(x0-

3

2

)2＜7+4

3

，
∴0≤

AD

•

AB

＜7+4

3

，即

AD

•

AB

的取值范圍為[0，7+4

3

)

點評：熟練掌握圓錐曲線的定義及性質、直線與圓錐曲線相切問題的解法、斜率的數量積的定義是解題的關鍵．