Question

已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₃=5，S₁₅=225；等比數列{b_n}滿足：b₃=a₂+a₃，b₂b₅=128
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式
（2）記c_n=a_n+b_n求數列{c_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析：（1）、根據等差數列和等比數列性質結合題中已知條件，便可求出a₁，d，b₁，q的值，進而求得數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）、由（1）可知c_n=（2n-1）•2ⁿ，分別求出T_n和2T_n的表達式，然后利用利用錯位相減求出數列的和．

解答：解：（1）設a_n=a₁+（n-1）d，S_n=

n(a1+an)

2

，
所以 a₃=a₁+2d=5      ①，
S₁₅=

15( a1+a15)

2

=15（a₁+7d）=225
a₁+7d=15         ②
①②聯立解得d=2，a₁=1，
∴數列{a_n}的通項公式為a_n=2n-1
設b_n=b₁•q^（n-1），
所以 b₃=a₂+a₃=8，
b₂=

b3

q

，b₅=b₃•q²
∴b₂•b₅=b₃²•q=64•q=128
∴q=2
∴數列{b_n}的通項公式為b_n=b₃•q^n-3=2ⁿ（n=1，2，3，…）．
（2）∵c_n=（2n-1）•2ⁿ
∵Tn=2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ
2Tn=2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2 ⁿ⁺¹
作差：-Tn=2+2³+2⁴+2⁵+…+2 ⁿ⁺¹-（2n-1）•2 ⁿ⁺¹
=2+23（1-2n-1）1-2-（2n-1）•2n+1
=2+

23(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）•2 ⁿ⁺¹
=2+2ⁿ⁺²-8-2 ⁿ⁺²n+2 ⁿ⁺¹=-6-2ⁿ⁺¹•（2n-3）
∴Tn=（2n-3）•2 ⁿ⁺¹+6（n=1，2，3，…）．

點評：本題考查了等差數列和等比數列的基本知識和利用錯位相減法求前n 項的和，考查了學生的計算能力，解題時注意整體思想和轉化思想的運用，屬于中檔題．