Question

（1）已知f(x+

1

x

)=x³+

1

x3

，則函數(shù)f（x）的解析式為

 

；
（2）已知3f（x）+5f（

1

x

）=

2

x

+1，則函數(shù)f（x）的解析式為

 

．

Answer 1

分析：（1）利用配湊法：根據(jù)立方和公式可把f（x+

1

x

）化為（x+

1

x

）[(x+

1

x

)2-3]，從而可得f（x）的解析式；
（2）方程法：根據(jù)所給等式，令

1

x

替換x可得3f（

1

x

）+5f（x）=2x+1，與已知等式聯(lián)立消掉f（

1

x

）可得f（x）；

解答：解：（1）f(x+

1

x

)=x³+

1

x3

=（x+

1

x

）（x2+

1

x2

-1）=（x+

1

x

）[(x+

1

x

)2-3]，
∴f（x）=x（x²-3）=x³-3x，
故答案為：f（x）=x³-3x；
（2）由3f（x）+5f（

1

x

）=

2

x

+1①，
令

1

x

替換x，得3f（

1

x

）+5f（x）=2x+1②，
②×5-①×3，得16f（x）=5（2x+1）-3（

2

x

+1）=10x-

6

x

+2，
解得f（x）=

5

8

x-

3

8x

+

1

8

，
故答案為：f（x）=

5

8

x-

3

8x

+

1

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的求法，屬基礎(chǔ)題，熟記求解析式的基本方法是解決該類題目的基礎(chǔ)．