Question

（1）已知2^x≤（

1

4

）^x-3，求函數y=（

1

2

）^x的值域．
（2）函數y=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數，且f(

1

2

)=

2

5

，求函數f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據對數函數的單調性，解不等式2^x≤（

1

4

）^x-3，求出x的范圍（定義域），進而根據指數函數的圖象和性質，可得函數y=（

1

2

）^x的值域．
（2）若函數y=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數，可得f（0）=0，結合f(

1

2

)=

2

5

，構造關于a，b的方程組，解方程組，可得答案．

解答：解：（1）∵2^x≤（

1

4

）^x-3=2^6-2x
由函數y=2^x為定義在R的增函數
故x≤6-2x
解得x≤2
又∵函數y=（

1

2

）^x為定義在R的減函數
∴當x=2時，函數取最小值

1

4

，無最大值
故函數y=（

1

2

）^x的值域為[

1

4

，+∞）
（2）∵函數y=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數，
∴f（0）=0，即b=0
又∵f(

1

2

)=

2

5

，即

1 2 a

1+ 1 4

=

2

5

解得a=1
∴f(x)=

x

1+x2

點評：本題考查的知識點是指數函數的圖象和性質，函數的值域，函數解析式的求法，函數的奇偶性，是函數圖象和性質的簡單綜合應用．