Question

有一座拋物線型拱橋，其水面寬AB為18米，拱頂O離水面AB的距離OM為8米，貨船在水面上的部分的橫斷面是矩形CDEF，如圖建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）如果限定矩形的長(zhǎng)CD為9米，那么矩形的高DE不能超過多少米，才能使船通過拱橋．
（3）若設(shè)EF=a，請(qǐng)將矩形CDEF的面積S用含a的代數(shù)式表示，并指出a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c．利用待定系數(shù)法，把已知坐標(biāo)（-9，-8），（9，-8），（0，0）代入解析式求得拋物線的解析式．
（2）已知CD=9，把已知坐標(biāo)代入函數(shù)關(guān)系式可求解．
（3）已知EF=a，易求出E點(diǎn)坐標(biāo)以及ED的表示式．易求矩形CDEF的面積．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c．
把已知坐標(biāo)（-9，-8），（9，-8），（0，0）代入解析式，
求得a=-

8

81

，b=0，c=0．
故拋物線的解析式為y=-

8

81

x²．（2分）
（2）∵CD=9
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為

9

2

，則點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為 -

8

81

×(

9

2

)2=-2
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為 (

9

2

，-2)，
因此要使貨船能通過拱橋，則貨船最大高度不能超過8-2=6（米）（5分）
（3）由EF=a，則E點(diǎn)坐標(biāo)為 (

1

2

a，-

2

81

a2)，
此時(shí) ED=8-|-

2

81

a2|=8-

2

81

a2
∴S_矩形CDEF=EF•ED=8a-

2

81

a³（0＜a＜18）．（7分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，主要考查的是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用以及矩形面積的運(yùn)算．