Question

平面內點P與兩定點A₁（-a，0），A₂（A，0）（其中a＞0）連線的斜率之積非零常數m，已知點P軌跡C的離心率是．
（1）求m的值；
（2）求橢圓C的右焦點且斜率為1的直線交橢圓C于A、B兩點．若O為坐標原點，M為橢圓C上一點，滿足，求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，設動點P的坐標為（x，y），當x≠±a時，由題設條件得mx²-y²=ma（x≠±a），由A₁（-a，0），A₂（a，0）的坐標滿足mx²-y²=ma²，知橢圓C的方程為（x≠±a）．由此能求出m的值．
（2）由橢圓C的方程為，知橢圓C的右焦點為，過F₂斜率為1的直線方程為．聯立，解得，或．由此能求出λ的值．
解答：解：（1）由題意，設動點P的坐標為（x，y），
當x≠±a時，由題設條件得=-m，
即mx²-y²=ma（x≠±a），
∵A₁（-a，0），A₂（a，0）的坐標滿足mx²-y²=ma²，
∴橢圓C的方程為（x≠±a）．
設橢圓C的半焦距為c（c＞0），
當焦點在x軸上時，有=a，
∴．解得m=-．
當焦點在y軸上時，有，
∴，解得．
（2）由（1）得，橢圓C的方程為，c=，
∴橢圓C的右焦點為，過F₂斜率為1的直線方程為．
聯立，解得，或．
設M點的坐標為（x，y），
①若點A的坐標為（0，-），點B的坐標為（），
∴，
∵M為橢圓上一點，∴=a²，
解得λ=0或．
②若點A的坐標為，點B的坐標為，
∴，
∵M為橢圓C上一點，
∴，
解得λ=0或，
綜上所述，λ的值為0或．
點評：本題考查直線和橢圓的位置關系的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．