Question

已知二次函數f（x）=x²+ax+m+1，關于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m²的解集為（m，m+1），其中m為非零常數．設．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]ⁿ-g（xⁿ+1）≥2ⁿ-2（n∈N^*）．

Answer 1

解：（1）∵關于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m²的解集為（m，m+1），
即不等式x²+（a+1-2m）x+m²+m＜0的解集為（m，m+1），
∴x²+（a+1-2m）x+m²+m=（x-m）（x-m-1）．
∴x²+（a+1-2m）x+m²+m=x²-（2m+1）x+m（m+1）．
∴a+1-2m=-（2m+1）．
∴a=-2．…（2分）
（2）解法1：由（1）得=．
∴φ（x）=g（x）-kln（x-1）=-kln（x-1）的定義域為（1，+∞）．
∴φ'（x）=1-=．…（3分）
方程x²-（2+k）x+k-m+1=0（*）的判別式△=（2+k）²-4（k-m+1）=k²+4m．…（4分）
①當m＞0時，△＞0，方程（*）的兩個實根為，，…（5分）
則x∈（1，x₂）時，φ'（x）＜0；x∈（x₂，+∞）時，φ'（x）＞0．
∴函數φ（x）在（1，x₂）上單調遞減，在（x₂，+∞）上單調遞增．
∴函數φ（x）有極小值點x₂．…（6分）
②當m＜0時，由△＞0，得或，
若，則，，
故x∈（1，+∞）時，φ'（x）＞0，（蘇元高考吧：www．gaokao8．net）
∴函數φ（x）在（1，+∞）上單調遞增．
∴函數φ（x）沒有極值點．…（7分）
若時，，，
則x∈（1，x₁）時，φ'（x）＞0；x∈（x₁，x₂）時，φ'（x）＜0；x∈（x₂，+∞）時，φ'（x）＞0．
∴函數φ（x）在（1，x₁）上單調遞增，在（x₁，x₂）上單調遞減，在（x₂，+∞）上單調遞增．
∴函數φ（x）有極小值點x₂，有極大值點x₁．…（8分）
綜上所述，當m＞0時，k取任意實數，函數φ（x）有極小值點x₂；
當m＜0時，，函數φ（x）有極小值點x₂，有極大值點x₁．…（9分）
（其中，）
解法2：由（1）得=．
∴φ（x）=g（x）-kln（x-1）=-kln（x-1）的定義域為（1，+∞）．
∴φ'（x）=1-=．…（3分）
若函數φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點等價于函數φ'（x）有兩個不等的零點，且
至少有一個零點在（1，+∞）上．…（4分）
令φ'（x）==0，
得x²-（2+k）x+k-m+1=0，（*）
則△=（2+k）²-4（k-m+1）=k²+4m＞0，（**） …（5分）
方程（*）的兩個實根為，．
設h（x）=x²-（2+k）x+k-m+1，
①若x₁＜1，x₂＞1，則h（1）=-m＜0，得m＞0，此時，k取任意實數，（**）成立．
則x∈（1，x₂）時，φ'（x）＜0；x∈（x₂，+∞）時，φ'（x）＞0．
∴函數φ（x）在（1，x₂）上單調遞減，在（x₂，+∞）上單調遞增．
∴函數φ（x）有極小值點x₂．…（6分）
②若x₁＞1，x₂＞1，則得
又由（**）解得或，
故．…（7分）
則x∈（1，x₁）時，φ'（x）＞0；x∈（x₁，x₂）時，φ'（x）＜0；x∈（x₂，+∞）時，φ'（x）＞0．
∴函數φ（x）在（1，x₁）上單調遞增，在（x₁，x₂）上單調遞減，在（x₂，+∞）上單調遞增．
∴函數φ（x）有極小值點x₂，有極大值點x₁．…（8分）
綜上所述，當m＞0時，k取任何實數，函數φ（x）有極小值點x₂；
當m＜0時，，函數φ（x）有極小值點x₂，有極大值點x₁．…（9分）
（其中，）
（3）證法1：∵m=1，∴g（x）=．
∴=
=．…（10分）
令T=，
則T==．
∵x＞0，
∴2T=…（11分）≥…（12分）
===2（2ⁿ-2）．…（13分）
∴T≥2ⁿ-2，即[g（x+1）]ⁿ-g（xⁿ+1）≥2ⁿ-2．…（14分）
證法2：下面用數學歸納法證明不等式≥2ⁿ-2．
①當n=1時，左邊=，右邊=2¹-2=0，不等式成立；
…（10分）
②假設當n=k（k∈N^*）時，不等式成立，即≥2^k-2，
則 ==…（11分）=2^k+1-2．…（13分）
也就是說，當n=k+1時，不等式也成立．
由①②可得，對?n∈N^*，[g（x+1）]ⁿ-g（xⁿ+1）≥2ⁿ-2都成立．…（14分）
分析：（1）根據關于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m²的解集為（m，m+1），即不等式x²+（a+1-2m）x+m²+m＜0的解集為（m，m+1），從而有x²+（a+1-2m）x+m²+m=（x-m）（x-m-1）．化簡后對照系數即可得出a的值；
（2）由（1）得=．利用導數研究其單調性，從而得出極值的情形；
（3）當m=1時g（x）=．利用二項定理化簡式子[g（x+1）]ⁿ-g（xⁿ+1），再利用組合數的性質或數學歸納法進行證明即得對?n∈N^*，[g（x+1）]ⁿ-g（xⁿ+1）≥2ⁿ-2都成立．
點評：本小題主要考查二次函數、一元二次不等式、一元二次方程、函數應用、均值不等式等基礎知識，考查數形結合、函數與方程、分類與整合、化歸與轉化的數學思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、創新意識．