Question

已知函數(shù)和函數(shù)，
（1）證明：只要，無論b取何值，函數(shù)在定義域內不可能總為增函數(shù)；
（2）在同一函數(shù)圖象上任意取不同兩點，線段AB的中點為，記直線AB的斜率為，①對于函數(shù)，求證：；②對于函數(shù)，是否具有與①同樣的性質？證明你的結論．

Answer 1

證明：（1）若在上是增函數(shù)，則恒成立，從而必有在上恒成立。
因為由二次函數(shù)的性質可知不可能恒成立，因此函數(shù)在定義域內不可能總為增函數(shù)。
（2）①對于有，。又因為，所以成立。
②對于函數(shù)，不妨設，則。
又因為，如果有①的性質，則，即有，化簡得，也就是
令，則。設，則，所以在上單調遞增，，故不可能成立，從而不成立，因此函數(shù)不具有與①同樣的性質。

略