Question

（2011•重慶三模）設函數f（x）=

2

3

x3+x2+ax+b（x＞-1）．
（I）若函數f（x）在其定義域上是單調函數，求實數a的取值范圍；
（II）若函數f（x）在其定義域上既有極大值又有極小值，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由f（x）的解析式求出導函數，導函數為開口向上的拋物線，因為函數在（-1，+∞）上為單調函數，所以導函數與x軸沒有交點，列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到實數a的取值范圍．
（II）先對函數進行求導，根據函數f（x）既有極大值又有極小值，可以得到△＞0且f′（-1）＞0，進而可解出a的范圍．

解答：解：（I）由f（x）=

2

3

x3+x2+ax+b（x＞-1）．
得到f′（x）=2x²+2x+a，
因為函數在（-1，+∞）上是單調函數，
所以f′（x）=2x²+2x+a≤0在（-1，+∞）恒成立，由于拋物線開口向上，2x²+2x+a≤0不可能成立；
所以f′（x）=2x²+2x+a≥0在（-1，+∞）恒成立，
則a≥-2x²-2x⇒a≥

1

2

所以實數a的取值范圍是：[

1

2

，+∞）．
（II）∵函數f（x）既有極大值又有極小值
由題意f′（x）=2x²+2x+a=0在（-1，+∞）上有兩解，
∴

△=4-8a 2(-1) 2+2(-1)+a＞0

⇒0＜a＜

1

2

故實數a的取值范圍0＜a＜

1

2

．

點評：此題考查函數在某點取得極值的條件、考查學生會利用導函數的正負確定函數的單調區間，掌握函數恒成立時所取的條件，是一道綜合題．