Question

對于二項式(

1

x

+x3)n的展開式（n∈N^*），四位同學作出了四種判斷：
①存在n∈N^*，展開式中有常數項；
②對任意n∈N^*，展開式中沒有常數項；
③對任意n∈N^*，展開式中沒有x的一次項；
④存在n∈N^*，展開式中有x的一次項．
上述判斷中正確的是（　　）

• A、①與③
• B、②與③
• C、①與④
• D、②與④

Answer 1

分析：利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令x的指數為0，1得到n滿足的條件，得到選項．

解答：解：(

1

x

+x3)n展開式的通項為T_r+1=C_n^rx^4r-n（其中r=0，1，2，…n）
令4r-n=0得r=

n

4

故當n是4的倍數時，展開式存在常數項
故①對②不對
令4r-n=1得r=

n+1

4

故當n+1是4的整數倍時，展開式中有x的一次項，
故③不對④對
故選C

點評：本題考查利用二項展開式的通項公式，解決二項展開式的特定項問題．