Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=2，E是棱CD上的一點．
（1）求證：AD₁⊥平面A₁B₁D；
（2）求證：B₁E⊥AD₁；
（3）若E是棱CD的中點，在棱AA₁上是否存在點P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求出線段AP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）要證AD₁⊥平面A₁B₁D，只需證明A₁B₁⊥AD₁，AD₁⊥A₁D即可．
（2）要證B₁E⊥AD₁，只需證明AD₁⊥面A₁B₁CD即可說明結果．
（3）點P是棱AA₁的中點，使得DP∥平面B₁AE，通過在AB₁上取中點M，連接PM₁ME．證明PM∥A₁B₁，且PM=

1

2

A₁B₁，然后說明四邊形PMED是平行四邊形，然后證明DP∥平面B₁AE．

解答：（本小題滿分14分）
解：（1）證明：在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
因為A₁B₁⊥面A₁D₁DA，
所以A₁B₁⊥AD₁．  …（2分）
在矩形A₁D₁DA中，因為AA₁=AD=2，
所以AD₁⊥A₁D．…（4分）
所以AD₁⊥面A₁B₁D．…（5分）
（2）證明：因為E∈CD，所以B₁E?面A₁B₁CD，
由（1）可知，AD₁⊥面A₁B₁CD，…（7分）
所以B₁E⊥AD₁． …（8分）
（3）當點P是棱AA₁的中點時，有DP∥平面B₁AE．  …（9分）
理由如下：
在AB₁上取中點M，連接PM₁ME．
因為P是棱AA₁的中點，M是AB₁的中點，
所以PM∥A₁B₁，且PM=

1

2

A₁B₁．…（10分）
又DE∥A₁B₁，且DE=

1

2

A₁B₁．
所以PM∥DE，且M=DE，
所以四邊形PMED是平行四邊形，
所以DP∥ME．…（11分）
又DP?面B₁AE，ME?面B₁AE，
所以DP∥平面B₁AE．  …（13分）
此時，AP=

1

2

A₁A=1． …（14分）

點評：本題考查直線與平面的垂直與平行的判斷與性質，考查空間想象能力，邏輯推理能力．