Question

給出下列四個判斷：
①定義在R上的奇函數(shù)f（x），當x＞0時f（x）=x²+2，則函數(shù)f（x）的值域為{y|y≥2或y≤-2}；
②若不等式x³+x²+a＜0對一切x∈[0，2]恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是{a|a＜-12}；
③當f（x）=log₃x時，對于函數(shù)f（x）定義域中任意的x₁，x₂（x₁≠x₂）都有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

；
④設(shè)g（x）表示不超過t＞0的最大整數(shù)，如：[2]=2，[1.25]=1，對于給定的n∈N⁺，定義

C

x n

=

n(n-1)…(n-[x]+1)

x(x-1)…(x-[x]+1)

，x∈[1，+∞），則當x∈[

3

2

，2）時函數(shù)

C

x 8

的值域是(4，

16

3

]；
上述判斷中正確的結(jié)論的序號是

②④

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，結(jié)合當x=0時f（0）=0，故①錯誤；
分離參數(shù)a，得a＜-（x³+x²），只需求-（x³+x²）在x∈[0，2]時的最小值即可；
利用對數(shù)的運算法則判斷出f（

x1+x2

2

）-

f(x1)+f(x2)

2

＞0；
對“

C

x n

=

n(n-1)…(n-[x]+1)

x(x-1)…(x-[x]+1)

”理解是解決此題的問題，如求

C

3 2 8

，它是由一個分式的分子和分母兩部分構(gòu)成，分子是8，分母是

3

2

．按此理解將函數(shù)C^x₈的值域問題轉(zhuǎn)化成一個函數(shù)的值域求解．

解答：解：①∵f（x）在R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，∴f（x）的值域為{y|y≥2或y≤-2}是錯誤的；
②∵x³+x²+a＜0對一切x∈[0，2]恒成立，∴a＜-（x³+x²），
若令y=-（x³+x²），則y′=-3x²-2x
由于y′≤0在x∈[0，2]上恒成立，
則函數(shù)y=-（x³+x²）在x=2時取得最小值是-12，∴a＜-12，
故a的取值范圍是{a|a＜-12}是正確的；
③∵f（x）=log₃x時，對于f（x）定義域中任意的x₁，x₂（x₁≠x₂），
f（

x1+x2

2

）-

f(x1)+f(x2)

2

=log₃

x1+x2

2

-

log3x1+log3x2

2

=log₃

x1+x2

2

-log₃

x1x2

由于兩數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于幾何平均數(shù)，
故log₃

x1+x2

2

-log₃

x1x2

＞0，
∴f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

是錯誤的；
④當x∈[

3

2

，2）時，

C

3 2 8

=

8

3 2

=

16

3

，當x→2時，[x]=1，
∴

C

x 8

=

8

2

=4；
則當x＞0時函數(shù)

C

x 8

的值域是(4，

16

3

]，故④正確；
故答案為：②④

點評：本題著重考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及其聯(lián)系和函數(shù)值域的求法等知識，
此題還考查了求參數(shù)范圍，一般用分離參數(shù)法，進而求函數(shù)的值域．屬于中檔題．