Question

已知直線l過坐標原點，拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸正半軸上，若點A(-1,0)、B(0,8)關于l的對稱點都在C上，求直線l和拋物線C的方程.

Answer 1

解析:本題的運算量較大,如果直接用普通方程來求解,其計算量會更大,同學們不妨一試.

解:設A、B關于直線l的對稱點分別為A₁、B₁,由對稱性知∠A₁OB₁=∠AOB=90°,由拋物線的參數方程可設A₁(2pt₁²,2pt₁)(t₁＜0),B₁(2pt₂²,2pt₂),?

又OA₁=OA=1,OB₁=OB=8,則有兩式相除得=64.?

又∵k_OA1=,k_OB1=,OA₁⊥OB₁,?

∴k _OA1·k_OB1=-1,即t₁·t₂=-1.

則可將t₂=-代入上式,得t₁⁶=,t₁=-.?

故有2p=.?

∴A₁(,-2).∴k_AA1=,k_l=.?

故所求直線l的方程為y=2x,拋物線C的方程為y²=x.