Question

已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)數(shù)滿足0＜＜1．設(shè)a是方程＝x的根．
（Ⅰ）當(dāng)x＞a時(shí)，求證：＜x；
（Ⅱ）求證：|－|＜|x₁－x₂|（x₁，x₂∈R，x₁≠x₂）；
（Ⅲ）試舉一個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)，滿足0＜＜1，且不為常數(shù)．

Answer 1

同解析

（Ⅰ）令g(x)=f(x) －x，則g`(x)=f `(x) －1<0．故g(x)為減函數(shù)，
又因?yàn)?i>g(a)=f(a）－a=0，所以當(dāng)x>a時(shí)，g(x)＜g(a)=0，
所以f(x) －x＜0，即<x．                                       5分
（Ⅱ）不妨設(shè)x₁＜x₂，由（Ⅰ）知g(x)為減函數(shù)，
所以 g(x₂)＜g(x₁)，即f(x₂)－x₂＜f(x₁)－x₁
所以 f(x₂)－f(x₁)＜x₂－x₁；又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823141606670277.gif" style="vertical-align:middle;" />＞0，所以為增函數(shù)，
所以0＜f(x₂)－f(x₁)＜x₂－x₁，所以|－|＜|x₁－x₂|．           11分
（Ⅲ）本小題沒(méi)有統(tǒng)一的答案，滿足題設(shè)條件的函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)．
如f(x)=.                                                  16分