Question

經過點F（0，1）且與直線y=-1相切的動圓的圓心軌跡為M．點A、D在軌跡M上，且關于y軸對稱，過線段AD（兩端點除外）上的任意一點作直線，使直線與軌跡M在點D處的切線平行，設直線與軌跡M交于點B、C．
（1）求軌跡M的方程；
（2）證明：∠BAD=∠CAD；
（3）若點D到直線AB的距離等于

2

2

|AD|，且△ABC的面積為20，求直線BC的方程．

Answer 1

分析：（1）設動圓圓心為（x，y），由直線與圓相切可得

x2+(y-1)2

=|y+1|，整理即得軌跡M的方程；
（2）由題意，要證∠BAD=∠CAD，可證k_AC=-k_AB，設點D（x0，

1

4

x02），則得kBC=

1

2

x0，設點C（x₁，

1

4

x12），B（x₂，

1

4

x22），則kBC=

1 4 x12- 1 4 x22

x1-x2

=

1

2

x0，化簡可得①，由①及斜率公式可得k_AC+k_AB=0，從而得證；
（3）由點D到AB的距離等于

2

2

|AD|，可知∠BAD=45°，不妨設點C在AD上方，即x₂＜x₁，直線AB的方程為：y-

1

4

x02=-（x+x₀），與拋物線方程聯立可得點B的坐標，從而可用x₀表示|AB|，同理可表示出|AC|，根據三角形面積為20可解得x₀，然后代入求出相應點的坐標，進而可得所求直線方程；

解答：解：（1）設動圓圓心為（x，y），依題意得，

x2+(y-1)2

=|y+1|，整理，得x²=4y．
所以軌跡M的方程為x²=4y．
（2）由（1）得x²=4y，即y=

1

4

x2，則y′=

1

2

x．
設點D（x0，

1

4

x02），由導數的幾何意義知，直線的斜率為kBC=

1

2

x0，
由題意知點A（-x₀，

1

4

x02）．設點C（x₁，

1

4

x12），B（x₂，

1

4

x22），
則kBC=

1 4 x12- 1 4 x22

x1-x2

=

x1+x2

4

=

1

2

x0，即x₁+x₂=2x₀，
因為k_AC=

1 4 x12- 1 4 x02

x1+x0

=

x1-x0

4

，k_AB=

1 4 x22- 1 4 x02

x2+x0

=

x2-x0

4

，
由于k_AC+k_AB=

x1-x0

4

+

x2-x0

4

=

(x1+x2)-2x0

4

=0，即k_AC=-k_AB，
所以∠BAD=∠CAD；
（3）由點D到AB的距離等于

2

2

|AD|，可知∠BAD=45°，
不妨設點C在AD上方，即x₂＜x₁，直線AB的方程為：y-

1

4

x02=-（x+x₀）．
由

y- 1 4 x02=-(x+x0) x2=4y

，解得點B的坐標為（x₀-4，

1

4

(x0-4)2），
所以|AB|=

2

|（x₀-4）-（-x₀）|=2

2

|x₀-2|．
由（2）知∠BAD=∠CAD=45°，同理可得|AC|=2

2

|x₀+2|，
所以△ABC的面積S=

1

2

×2

2

|x0-2|×2

2|

x0+2|=4|x02-4|=20，解得x₀=±3，
當x₀=3時，點B的坐標為（-1，

1

4

），kBC=

3

2

，
直線BC的方程為y-

1

4

=

3

2

（x+1），即6x-4y+7=0；
當x₀=-3時，點B的坐標為（-7，

49

4

），kBC=-

3

2

，
直線BC的方程為y-

49

4

=-

3

2

（x+7），即6x+4y-7=0．

點評：本小題主要考查動點的軌跡和直線與圓錐曲線的位置關系、導數的幾何意義等基礎知識，考查運算求解能力和推理論證能力等．