Question

已知向量

m

=(2cosα ， 2sinα)，

n

=(3cosβ ， 3sinβ)，若

m

與

n

的夾角為60°，則直線 xcosα-ysinα+

1

2

=0與圓(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=

1

2

的位置關系是（　　）

• A、相交但不過圓心
• B、相交過圓心
• C、相切
• D、相離

Answer 1

分析：由已知中直線 xcosα-ysinα+

1

2

=0與圓 (x-cosβ)2+(y+sinβ)2=

1

2

的方程，我們易得到圓心到直線距離d的表達式，再由向量

a

=（2cosα，2sinα），

b

=（3cosβ，3sinβ），若向量

a

與

b

的夾角為60°，我們可以計算出d值，與圓半徑比較，即可得到答案．

解答：解：∵圓的方程為 (x-cosβ)2+(y+sinβ)2=

1

2

∴圓心坐標為（cosβ，-sinβ），半徑為

2

2

則圓心到直線 xcosα-ysinα+

1

2

=0距離d=|cosαcosβ+sinαsinβ+

1

2

|=|cos（α-β）+

1

2

|
又∵

a

=（2cosα，2sinα），

b

=（3cosβ，3sinβ），向量

a

與

b

的夾角為60°，
則2×3×cos60°=6cosαcosβ+6sinαsinβ
即cosαcosβ+sinαsinβ=

1

2

，
∴d=|

1

2

+

1

2

|=1＞

2

2

，
故選D．

點評：此題是個中檔題．本題考查的知識點是平面微量的數量積運算，及直線與圓的位置關系，若圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r，則：①當d＜r時，圓與直線相交；②當d=r時，圓與直線相切；③當d＞r時，圓與直線相離．