Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(b＞a＞0)，O為坐標原點，離心率e=2，點M(

5

，

3

)在雙曲線上．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線l與雙曲線交于P，Q兩點，且

OP

•

OQ

=0．問：

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

是否為定值？若是請求出該定值，若不是請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于離心率e=2，點M(

5

，

3

)在雙曲線上，可得

5 a2 - 3 b2 =1 c a =2 c2=a2+b2

，解得即可．
（2）設直線OP方程為y=kx（k≠0），與雙曲線方程聯立可得x²，y²．進而得到|OP|²，同理得到|OQ|²，即可證明為定值．

解答：解：（1）∵離心率e=2，點M(

5

，

3

)在雙曲線上，∴

5 a2 - 3 b2 =1 c a =2 c2=a2+b2

，解得

a2=4 b2=12 c2=16

．
故所求雙曲線的方程為

x2

4

-

y2

12

=1．
（2）設直線OP方程為y=kx（k≠0），聯立3x²-y²=12．
聯立

y=kx 3x2-y2=12

解得

x2= 12 3-k2 y2= 12k2 3-k2

，∴|OP|²=x2+y2=

12(k2+1)

3-k2

．
則OQ方程為y=-

1

k

x，同理解得|OQ|2=

12(k2+1)

3k2-1

．．
∴

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

3-k2+3k2-1

12(k2+1)

=

1

6

．是定值．

點評：本題綜合考察連體衣的標準方程及其性質、直線與雙曲線相交問題轉化為方程聯立得到方程組、兩點間的距離公式、定值問題等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，考查了分析問題和解決問題的能力，屬于難題．